关于极限运算的公式，综合多个来源整理如下：

一、四则运算法则

1. 加法法则：$\lim\limits_{x \to a} [f（x） + g（x）] = \lim\limits_{x \to a} f（x） + \lim\limits_{x \to a} g（x）$

2. 减法法则：$\lim\limits_{x \to a} [f（x） - g（x）] = \lim\limits_{x \to a} f（x） - \lim\limits_{x \to a} g（x）$

3. 乘法法则：$\lim\limits_{x \to a} [f（x） \cdot g（x）] = \lim\limits_{x \to a} f（x） \cdot \lim\limits_{x \to a} g（x）$

4. 除法法则：$\lim\limits_{x \to a} \frac{f（x）}{g（x）} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f（x）}{\lim\limits_{x \to a} g（x）}$（需$\lim\limits_{x \to a} g（x） \neq 0$）

二、重要等价无穷小（$x \to 0$）

1. 指数函数：$e^x - 1 \sim x$

2. 三角函数：$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$

3. 反三角函数：$\arcsin x \sim x$，$\arctan x \sim x$

4. 余弦函数：$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$1 - \cos（x^2） \sim \frac{1}{2}x^4$

5. 对数函数：$\ln（1 + x） \sim x$

6. 幂函数：$（1 + x）^a - 1 \sim ax$

三、补充说明

法则适用条件：需注意函数在极限点的连续性，避免“0/0”或“$\infty/\infty$”等未定式

等价无穷小替换：乘除运算中可直接替换，加减运算需谨慎使用

注：公式中的“$\sim$”表示等价无穷小关系，即$\lim\limits_{x \to a} \frac{f（x）}{g（x）} = 1$。