对号函数是一种形如 $y = ax + \frac{b}{x}$（其中 $a$ 和 $b \neq 0$）的函数，因其图像形似对号（耐克或李宁标志）而得名。以下是其主要性质及特点：

一、基本定义与图像特征

定义域与值域

- 定义域：$\{x | x \neq 0\}$

- 值域：$\{y | y \leq -2\sqrt{ab} \text{ 或 } y \geq 2\sqrt{ab}\}$

图像特征

- 由双曲线旋转而成，具有两条渐近线：$y = ax$ 和 $x = 0$（y轴）

- 关于原点对称（奇函数）

二、对称性与奇偶性

奇函数：

满足 $f（-x） = -f（x）$，图像关于原点对称

中心对称：以原点为对称中心

三、单调性与极值

单调区间

- 增区间：$（-\infty, -\sqrt{\frac{b}{a}}）$ 和 $（\sqrt{\frac{b}{a}}, +\infty）$

- 减区间：$（-\sqrt{\frac{b}{a}}, 0）$ 和 $（0, \sqrt{\frac{b}{a}}）$

极值点

- 在第一、三象限的分支中，当 $x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$ 时，取得最小值 $y = \pm 2\sqrt{ab}$

四、渐近线与特殊形态

渐近线：

$y = ax$（斜渐近线）和 $x = 0$（垂直渐近线）

特殊形态：当 $a = b$ 时，函数变为 $y = x + \frac{1}{x}$，此时极值点为 $（\pm 1, \pm 2）$

五、应用与注意事项

研究对号函数时，常通过配方法或不等式（如AM-GM）求最值

参数 $a$ 和 $b$ 的正负影响函数图象的分布（$a, b > 0$ 时位于一、三象限）

以上性质综合了代数分析与几何特征，为理解对号函数提供了系统框架。