虚数单位 $i$ 的幂次方具有周期性规律，具体如下：

基本规律

- $i^1 = i$

- $i^2 = -1$

- $i^3 = -i$

- $i^4 = 1$

周期性

从 $i^5$ 开始，幂次方的值会每4个幂次循环一次，即：

- $i^5 = i$

- $i^6 = -1$

- $i^7 = -i$

- $i^8 = 1$

以此类推，形成周期为4的循环模式。

数学表达式

对于任意整数 $n$，$i^n$ 可以表示为：

$$

i^n =

\begin{cases}

1 & \text{if } n \equiv 0 \pmod{4} \\

i & \text{if } n \equiv 1 \pmod{4} \\

-1 & \text{if } n \equiv 2 \pmod{4} \\

-i & \text{if } n \equiv 3 \pmod{4}

\end{cases}

$$

其中 $\equiv$ 表示同余运算。

补充说明

0次方定义：$i^0 = 1$

负数次方可通过公式 $i^{-n} = \frac{1}{i^n}$ 计算，例如 $i^{-1} = -i$

该规律适用于复数域中的幂运算，是复数分析的基础内容之一。