谭嗣同的行刑时间是 1898年9月28日，具体背景如下：

时间与地点

谭嗣同与“戊戌六君子”中的其他五位志士（康广仁、林旭、杨深秀、刘光第、杨锐）于1898年9月28日在北京宣武门外的菜市口刑场被处决。

历史背景

该事件发生在戊戌变法失败后，慈禧太后下令处决六君子。谭嗣同因主张激进变法，成为慈禧最痛恨的对象。行刑时，他身着囚服，神情从容，临刑前高呼“有心杀贼，无力回天!死得其所，快哉快哉!”。

后续影响

谭嗣同的牺牲激起了广泛的社会震动，其《仁学》等著作对后世思想产生了深远影响，成为推动中国近代思想变革的重要资源。

以上信息综合自多份史料记载，可信度较高的来源包括高权威性新闻报道和学术研究。