笛卡尔的心形方程是极坐标系下的表达式，用于描述心形曲线的数学形式。其标准方程为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中：

$r$ 表示极坐标系中点到原点的距离；

$\theta$ 表示极角（与x轴正方向的夹角）；

$a$ 是一个常数，控制心形的大小。

补充说明：

参数化表达

该方程可以进一步转换为直角坐标系下的参数方程：

$$x = r\cos\theta = a(1 - \sin\theta)\cos\theta$$

$$y = r\sin\theta = a(1 - \sin\theta)\sin\theta$$

通过消去参数 $\theta$，可以得到心形的直角坐标方程：

$$x^2 + (y - \frac{a}{2})^2 = a^2(1 - \sin\theta)^2$$

这是一个关于 $x$ 和 $y$ 的二次方程，展开后呈现心形曲线的特征。

几何意义

- 当 $\theta = 0$ 时，$r = a$，对应极点；

- 当 $\theta = \pi$ 时，$r = 0$，对应极轴与心形的交点；

- 随着 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$，点 $（r, \theta）$ 描绘出完整的心形轮廓。

历史背景

该方程由法国数学家勒内·笛卡尔于17世纪创作，作为献给瑞典公主克里斯汀的礼物。传说中，国王误认为方程中隐藏秘密，而公主通过绘制心形图案解读了爱意，成为数学史上的浪漫佳话。

综上，笛卡尔的心形方程通过极坐标简洁地表达了心形曲线的几何特征，并承载了数学与文学交融的浪漫内涵。